Emergentie via hydrodynamische limieten

Wanneer een druppel inkt in een glas water valt, verspreidt de inkt zich door het water. Op moleculair niveau gedragen de water- en inktmoleculen zich willekeurig. Maar op macroniveau (het niveau dat wij kunnen waarnemen) verspreidt de inkt zich altijd. Het precieze traject van de inkt is altijd anders, maar we weten dat de inkt zich volgens een diffusievergelijking verspreidt. Dit is een voorbeeld waar chaotisch gedrag op microschaal leidt tot voorspelbaar gedrag op macroschaal. Dit is emergentie.
Dit fenomeen komt veel voor, niet alleen bij inkt in water. Voorbeelden zijn mensen die een gebouw uit vluchten, maar ook bijen en vogels die in zwermen vliegen.
In deze presentatie bestuderen we ditzelfde fenomeen aan de hand van een wiskundig model waarin deeltjes volgens simpele regels willekeurig rondspringen. Door zo ver uit te zoomen dat het niet meer mogelijk is om individuele deeltjes te zien, maar alleen de dichtheid, wordt duidelijk dat de dichtheid een deterministisch patroon volgt. Dit patroon is een partiële differentiaalvergelijking en wordt de hydrodynamische limiet genoemd.
Bewijzen dat de hydrodynamische limiet bestaat, is lastig. Een van de technieken om dit te laten zien, is dualiteit. Dit is een techniek waardoor het mogelijk is om één deeltje te bestuderen in plaats van alle deeltjes tegelijkertijd. Dit vereenvoudigt het systeem genoeg om de hydrodynamische limiet te bewijzen. Met de hydrodynamische limiet tonen we emergentie aan.

Phine Schikhof is tweedejaars PhD student aan de TU Delft. Haar onderzoek richt zich op deeltjessystemen en hun hydrodynamische limieten. In het bijzonder is zij geïnteresseerd in deeltjessystemen in een ruimte die zelf over tijd verandert. Je kunt hierbij bedenken dat bepaalde stukken van de ruimte makkelijker of moeilijker begaanbaar worden of zelfs tijdelijk afgesloten raken. Maar het kan ook zijn dat de ruimte zelf beweegt, waardoor er meer of minder plaats is voor deeltjes en de ondergrond de deeltjes mee kan sleuren. De bewegende ondergrond zorgt ervoor dat toegestane bewegingen op één plek over tijd veranderen. Door dit soort dynamiek zijn de technieken om de hydrodynamische limiet te bewijzen voor een niet-bewegende ruimte niet altijd meer bruikbaar. Op dit moment is Phine daarom vooral bezig met de bestaande technieken uit te breiden zodat deze ook werken voor deeltjessystemen op een ruimte die over tijd beweegt.